ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Ю.Г. Игнатьев, А.Р. Самигуллина

Среда разработки: Maple

Скачать

Программный комплекс состоит из двух пакетов DifEq и Splines, позволяющий исследовать нелинейные динамические системы численно-аналитическими методами. Пакет DifEq позволяет решать численными методами любые системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разрешенных относительно старших производных:

где $y^{(n)} =d^{n}y/dt^{n}$ - обозначение $n$-той производной функции $y(t)$ по независимой переменной $t$, - времени, а $F_{i}$ - непрерывно-дифференцируемые функции своих переменных. Будем в дальнейшем полагать выполненными начальные условия для системы (1):

соответствующие стандартной задаче Коши, где $C_i^k$ - начальные значения производных $k$-го порядка функций $y_{i}(t)$. При этом команды пакета выводят численное решение системы в функциональном виде $y_i(t)$, не требующим дополнительных программных процедур для реализации.

Пакет программ Splines предназначен для работы со сплайнами, в том числе для трансформации численного решения в сплайны, позволяющих обращаться с полученными решениями, как с обычными аналитическими функциями, в том числе, например, дифференцировать и интегрировать эти решения простыми командами и результат опять представлять в сплайновой форме.

Ю.Г. Игнатьев, А.А. Агафонов

Среда разработки: Maple

Скачать

Пакет GravPerturbations позволяет вычислять в аналитической форме основные геометрические объекты релятивистской теории гравитации во втором порядке по возмущениям относительно невозмущенного гравитационного поля: тензор Эйнштейна, $G_{ik}$, тензор Риччи, $R_{ik}$ и скалярную кривизну, $R$. Пусть $g^0_{ik}(x)$ -- ковариантный метрический тензор невозмущенного гравитационного поля, где $x=[x^1,x^2,x^3,x^4]\equiv$ coords - упорядоченный список координат 4-х мерного риманова пространства, а $h_{ik}(x)=g_{ik}(x)-g^0_{ik}(x)$ - малые возмущения гравитационного фона $g^0_{ik}$. Тогда соответствующие тензорные величины могут быть записаны в виде:

где $R^{(k)}$ -- соответствующие тензорные величины, пропорциональные $k$-ым степеням $h_{ik}$ и их производных.

Вычисление этих величин, особенно во втором порядке теории возмущений, приводит к необходимости производить громоздкие аналитические вычисления, каждый элемент которых элементарен, однако большое количество таких элементов приваодит к большим затратам времени, а также нередко - к вычислительным ошибкам.

Авторский пакет GravPerturbations предназначен для автоматизации этих вычислений в системе компьютерной математике Maple на основе ее внутренней библиотеки Physics . Для вычисления указанных геометрических величин необходимо задать координаты, невозмущенную метрику $g^0_{ik}(x)$ и ее ковариантные возмущения $h_{ik}(x)$, а также указать тип выводимой величины, ее валентность и порядок возмущения.

1. При этом, как невозмущенный метрический тензор, так и его возмущения можно задавать в виде функциональной зависимости от неизвестных функций.
2. В данном пакете пока реализована программа вычислений возмущений геометрических объектов включительно до второго порядка по малости возмущений. Однако, в ближайшее время Авторы намерены опубликовать соответствующую программу для любого порядка теории возмущений.
3. Отметим, что, данная программа применялась уже одним из Авторов при построении модели макроскопической Вселенной.

При использовании программы, помещенной на сайте журнала, просим ссылаться на нее, а также на охранный документ (Игнатьев Ю.Г., Агафонов А.А. Программа аналитических вычислений в теории возмущений второго порядка уравнений Эйнштейна в прикладном математическом пакете Maple // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016616385. – 09.06.2016. – Федеральная служба по интеллектуальной собственности.).

Ю.Г. Игнатьев, А.А. Агафонов

Среда разработки: Maple 18 или выше

Скачать

Пакет EquiSurface осуществляет построение эквидистантных эквипотенциальных поверхностей и градиентных линий к ним по заданной потенциальной функции в трехмерном пространстве в прикладном математическом пакете Maple. Пакет содержит единственную команду equipotential, входными параметрами в которую являются: потенциальная функция, число эквипотенциальных поверхностей и область пространства. Дополнительными параметрами программы, определяющими графическую форму представления результатов, являются тип изображения поверхности (точки, сетка поверхности или полупрозрачная гладкая поверхность)/ее сечения. При выборе специальных значений параметра можно также получить двумерные сечения эквипотенциальных поверхностей и градиентных линий к ним в любой плоскости, параллельной координатным плоскостям. Специальная опция позволяет также выводить в заголовок графического объекта математическую формулу заданного потенциала. Программа предназначена, как для исследователей в области теории поля и математического моделирования, так и для системы образования РФ.

Ю.Г. Игнатьев, М.Л. Михайлов

Среда разработки: Maple

Скачать

Программный комплекс SortArray предназначен для автоматизированного упорядочения данных, представленных в виде списка массивов размерности от двух до пяти, (например: $[a_{0},b_{0},c_{0}],[a_{1},b_{1},c_{1}]$, $\ldots , [a_{n},b_{n},c_{n}]$) по первым (двум первым) элементам, построения на основе их трёхмерных массивов функций одной и двух переменных и последующего построения параметризованной линии (поверхности) отсортированного массива с выводом результатов в виде двух(трёх)-мерных графиков с управляемыми параметрами в системе компьютерной математики Maple. Программный комплекс содержит также процедуру случайного разупорядочивания массивов произвольной размерности. Кроме того, в программный комплекс входят функции, которые позволяют автоматически создавать упорядоченные двумерные и трёхмерные массивы по результатам интегрирования одно- двукратных интегралов, зависящих от одного (двух) параметров, с последующим их изображением в виде двумерных (трёхмерных) графиков. Программный комплекс предназначен для математиков и физиков, для системы образования РФ, а также для кодирования и декодирования информации.

Ю.Г. Игнатьев, А.Р. Самигуллина

Среда разработки: Maple

Скачать

Пакет DifEqTools создан на основе более ранних авторских пакетов DifEq и Splines и позволяет решать численными методами любые системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разрешенных относительно старших производных: $$y_{_i }^{_{(n_i )} } = F_i (y_1 ,...,y_N ,y'_1 ,...,y'_N ,y''_1 ,...,y''_N,...,y_{_1 }^{_{(n_1 -1)} } ,\ldots, y_{_1 }^{_{(n_N -1)} },t);\mbox{ }(i=\overline {1,N} ),$$ где $y^{(n)} = d^{n}y/dt^{n}$ - обозначение n-той производной функции $y(t)$ по независимой переменной t, -- времени, а $F_{i}$ - непрерывно-дифференцируемые функции своих переменных. Будем в дальнейшем полагать выполненными начальные условия для системы (1): $$\left. {y_{_i }^{(k)} (t)} \right|_{t=t_0 } =C_i^k \mbox{ };\mbox{}(k=\overline {1,n_i -1} \mbox{; }i=\overline {1,N} ),$$ соответствующие стандартной задаче Коши, где $C_i^k$ - начальные значения производных k-го порядка функций $y_{i}(t)$. При этом команды пакета выводят численное решение системы в функциональном виде $y_i(t)$, не требующим дополнительных программных процедур для реализации.

Пакет программ DifEqTools позволяет представлять численные решения в виде сплайнов, позволяющих обращаться с полученными решениями, как с обычными аналитическими функциями, в том числе, например, дифференцировать и интегрировать эти решения простыми командами и результат опять представлять в сплайновой форме (т.е., в форме кусочно-заданной функции, состоящей из полиномов).

Пакет DifEqTools создан на основе более ранних авторских пакетов DifEq и Splines и позволяет автоматически выводить в графическом представлении 2d и 3d, статические и динамические графики, построенные, как на численных, так и сплайновых решениях нелинейных систем ОДУ любого порядка, с выводом на графики любых неизвестных функций и любых их производных. Координатные оси автоматически нумеруются.

Э.В. Чеботарева

Среда разработки: Maple

Скачать

Библиотека функций ConvEq интегрируется с системой компьютерной математики Maple и содержит три команды Conv, SolveConvEq и SolveDiffEq.

Команда Conv предназначена для вычисления свертки двух обобщенных функций, удовлетворяющих одному из условий

• Хотя бы одна из обобщенных функций обладает компактным носителем.
• Носители обеих обобщенных функций ограничены слева.

Команда SolveConvEq служит для решения уравнения сверток вида $$P(D)\left[f(t)\delta^{(r)}(t)\right]*U=W,$$ где $P(D)$ - обыкновенный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, $f(t)$ - функция класса $C^{\infty}(\mathbb{R})$, $\delta(t)$ - мера Дирака, $r\in\mathbb{N}$, $W$ - заданная обобщенная функция из пространства $\mathscr{D}'_{+}(\mathbb{R})$, $U$ - искомая обобщенная функция из $\mathscr{D}'_{+}(\mathbb{R})$, $\mathscr{D}'_{+}(\mathbb{R})$ - пространство обобщенных функций с носителями на положительной вещественной полуоси.

Команда SolveDiffEq предназначена для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений вида $$P(D)L(D)u(t)=f(t),$$ $$u^{(k)}(0)=c_i.$$ где $P(D)$, $L(D)$ - обыкновенные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, $f(t)$ - функция класса $L^{1}_{loc}(\mathbb{R})$.

Ю.Г. Игнатьев, А.Р. Самигуллина

Среда разработки: Maple

Скачать